Catastrophes et bifurcations
(Michel Demazure)
Date de Lecture : 2006-04-10
Mon commentaire : Excellent livre. Dans ce livre, on y découvre une bonne introduction à la théorie de Thom. Cette théorie permet de créer dans des espaces énormes, comme l'espace des fonctions différentiables, une classification acceptable au sens où presque toutes les situations sont passées en revue. On parle de généricité
Finalement, cette théorie permet d'unifier, entre autres, la théorie de Morse (classification locale singularités des fonctions à valeurs réelles en fonction de la signature de leur hessienne) et la théorie de Whitney qui décrit les singularités génériques des fonctions de R^2 dans R^2 avec deux situations stables : les points pli et les points fronce. Avant de faire présenter la théorie des jets, Michel Demazure y présente de façon très claire la notion de variété différentiable. La fin du livre est orienté équation différentielles.

Applied Interval Analysis.
(Luc Jaulin, Michel Kieffer, Olivier Didrit, Eric Walter)
Date de Lecture : 2007-09-21
Mon commentaire : C'est le livre de mon directeur de thèse. Il ne peut être que très bon ;-) Son originalité tient au fait qu'il contient de nombreuses applications du calcul par intervalles.

Calcul formel - systèmes et algorithmes de manipulations algébriques
(J. Davenport, Y. Siret, E. Tournier)
Date de Lecture : entre 2004 et 2006, je ne me souviens plus...
Mon commentaire : Ce livre commence à dater maintenant. Ici, il n'est pas question des plus récentes avancées en calcul formel. Le novice en calcul formel trouvera une introduction aux méthodes classiques. En particulier, on y retrouvera la méthode de Louiville capable d'intégrer formellement (i.e. trouver une forme close d'une primitive d'une fonction donnée). Après la lecture de cet ouvrage, vous saurez pourquoi intégrer formellement est aussi facile que de dériver formellement.

Points fixes, zéros et la méthode de Newton.
(Jean-Pierre Dedieu)
Date de Lecture : 2006-09-20
Mon commentaire : J'ai avalé ce livre. Il est très bien écrit. Je le conseille vivement à tout ceux qui veulent en savoir plus sur cette méthode. Il contient les preuves des théorèmes de Grobman Hartman, quelques notions de la théorie de Kantorovitch et alpha de Smale. Ces deux théories permettent entre autre de donner des conditions de convergence quadratique pour la méthode du point fixe.
Contient une multitude d'exemples très intéressants.

Introduction à la topologie algébrique.
(Andrew H Wallace)
Date de Lecture : 2007-09-20
Mon commentaire : Ce livre pourrait sans doute faire parti de la populaire collection "pour les nuls" et s'appeler "la topologie algébrique pour les nuls". L'auteur, après quelques rappels classiques de topologie (limites, continuité...) nous introduit au fameux groupe fondamental avec de nombreux dessins qui illustrent ses propos. Le reste du livre est tout aussi pédagogique : on y trouve les groupes et suite d'homologie d'un ensemble (topologique). Il termine par quelques notions de complexes simpliciaux. Dans ce livre, il n'est pas question de foncteurs de la catégorie de Top vers ...
néanmoins le novice en topologie algébrique se régalera.

Eléments de topologie algébrique.
(Claude Godbillon)
Date de Lecture : 2007-09-20
Mon commentaire : Encore de la topologie algébrique, mais ca se corse par rapport au livre de Wallace. On y trouve les résultats classique de topologie algébrique : théorème de Van Kampen, théorème du point fixe de Brouwer ... Les choses un peu plus difficile commencent avec une théorie de Galois des revêtements très bien présentée. On continue avec l'algèbre de cohomologie de de Rham (mais si vous savez le truc avec les formes différentielles dans tous les sens) pour terminer par un pot pourri de cohomologie relative, inégalité de morse et dualité de Poincaré. Conclusion : bon livre même si comme dans beaucoup de livres de math, il manque quelques interprétations géométriques. A quand, par exemple, une interprétation géométrique de l'exactitude et la fermeture des formes différentielles ?

Morse theory.
(J Milnor)
Date de Lecture : 2007-09-23
Mon commentaire : En gros, cette théorie lie la topologie d'une variété M aux points critiques d'une fonction f définie sur M. La combinatoire des hessiennes de f en ces point permet de renseigner sur la topologie de M. Ce livre montre l'efficacité de cette théorie. A conseiller.

Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation.
( John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman)
Date de Lecture : 2007-09-22
Mon commentaire : J'ai lu ce livre l'année où j'ai décidé de m'intéresser sérieusement à l'informatique théorique. En lisant ce livre, on n'est plus vraiment sur la même longueur d'ondes que l'assembleur de PC du coin qui vous dit que l'informatique n'est pas une science exacte. Dans ce livre, on trouve cette belle progression : automates finis, langages réguliers, context free languages, automates à piles, Machine de turing, indécidabilité, NP complet.
C'est beau l'informatique. ;-)

Equivalence, Invariants, and Symmetry
(Peter J. Olver)
Date de Lecture : 2007-06-16
Mon commentaire : Un exercice classique qui est donné aux élèves de collège de donner les symétries d'une figure géométrique. Par exemple un triangle isocèle a au moins un axe de symétrie, alors qu'un carré a un centre de symmétrie, et des axes de symmétrie ...
Il existe la même chose pour les équations différentielles, la question devient :
Quelles sont les changements de variables qui envoient une solution sur une autre ?
Exemple : Si F est une primitive de f (F'= f) alors F + k est encore une primitive de f, et donc les translations de l'espace d'arrivée envoient une solution sur une autre solution. On peut vérifier ceci de façon infinitésimale : on montre que le champ de vecteurs $\partial y$, qui engendre les translations, est tangent à une certaine surface...
Olver commence par des rappels sur les groupes et algèbres de Lie et l'espace des jets. Espace très intéressant puisque dans cet espace une équation différentielle devient "simplement" une hypersurface de niveau d'une certaine fonction, c'est l'étude de cette hypersurface combinée à la géométrie de l'espace des jets qui permet de calculer les symmétries d'une équation différentielle. La plupart du temps, les méthodes sont infinitésimales, les symétries calculées sont donc "seulement" locales (à moins d'avoir la connexité du groupe de Lie).
La fin du livre donne la méthode d'équivalence de Cartan et les chapitres annexes de bonnes bases de géométries comme le théorème de Frobenius.


Ordinary Differential Equations
(V.I. Arnold)
Date de Lecture : 2005-06-20
Mon commentaire : Ce livre donne une très bonne introduction aux équations différentielles ordinaires avec de nombreuses illustrations. C'est celui où j'ai compris la notion de champs de vecteurs mais aussi celle de flot, i.e. groupe de difféomorphismes à un paramètre.
Pour ceux qui se destine à la mécanique des fluides, Arnold donne aussi très clairement la signification de l'opérateur div qui n'est rien d'autre que le changement infinitésimal de volume. Une très belle démonstration nous donne comment div et connecté à la trace d'une matrice.


Convex optimization
(S. P. Boyd, L. Vandenberghe)
Date de Lecture : 0000-00-00
Mon commentaire : A lire, semble être une référence en optimisation ...

Moments, Positive Polynomials and Their Applications
(Jean Bernard Lasserre)
Date de Lecture : 2014-01-30
Mon commentaire : Avant de lire ce livre, je pensais, naïvement, que la théorie de la mesure n'était qu'une façon élégante de combler les lacunes de la théorie d'intégration de Riemann.
La théorie de la mesure, i.e. associer un poids à (plus ou moins) chaque partie d'un ensemble permet de modéliser de nombreux problèmes. En effet, il est par exemple possible d'écrire un problème d'optimisation globale non linéaire d'une fonction coût f sous forme d'un problème de programmation linéaire. Le prix à payer dans cet exemple est de passer en dimension infini : plus exactement, l'espace de recherche devient l'ensemble des mesures de probabilité et la fonctionnelle coût l'intégrale de f vis-à-vis de cette mesure. Dans un second temps, plutôt que de chercher la mesure directement, on cherche ses moments, ce qui permet de créer un problème en dimension finie qui est une relaxation du problème initial.
Cette méthodologie, combinée avec le Théorème de Putinar, permet de résoudre numériquement de nombreux autres problèmes. En plus de l'optimisation globale polynomiale, mes applications préférées sont le contrôle optimal avec les mesures d'occupations et le transport optimal.

Topics in Optimal Transportation
(Cedric Villani)
Date de Lecture : 2014-02-10
Mon commentaire : Je n'ai vraiment lu que les premiers chapitres. On y comprend ce que sont les problèmes de Kantorovich et de Monge. Sans entrer dans les détails, la version discrète du problème pourrait être celle du père Noël : étant donné des entrepôts où se trouvent des lego en différentes quantités et des maisons où se trouvent des enfants qui ont commandé un certain nombre de briques, la question est de savoir comment le père Noël peut optimiser les trajets de ses rennes !
En continu, le problème de Kantorovich devient un problème de programmation linéaire sur l'espace des mesures positives avec des contraintes linéaires. Comme tout bon problème de programmation linéaire, il admet un dual pour lequel il existe aussi une interprétation avec le père Noël. C'est grâce à ce livre que j'ai enfin compris que la dualité en programmation linéaire en dimension finie était la même dualité qui fait que l'espace des mesures sur X est le dual de l'espace des fonctions définies sur X ...
Le reste du livre donne de nombreux résultats et en particulier ceux de Brenier. J'ai honte de ne pas en avoir plus compris...

Le langage Caml
(Pierre Weis et Xavier Leroy)
Date de Lecture : 2016-01-27
Mon commentaire : Ce livre commence à dater un peu mais après avoir regarder le mooc fun sur caml, j'ai décidé de me mettre sérieusement à la programmation fonctionnelle. Au début c'est un peu déroutant. Comme tout nouveau langage, on se pose des questions autour de la sémantique et on s'habitue à la synthaxe. Ce livre est parfait pour débuter. En plus de nous faire découvrir la programmation fonctionnelle, c'est un véritable cours de programmation au sens large (logique propositionnelle, récursivité ...). Chacun des 6 derniers chapitres est un exemple d'applications de ce langage. Les auteurs ici ne peuvent pas tricher !
Mes moments préférés restent les explications sur la récursivité avec les tours de Hanoi et cette explication de l'implication en logique : "P implique Q" est synonyme de "(non P) ou Q". Par exemple "Si nous ne nous hâtons pas alors nous serons en retard" est synonyme de "hâtons-nous ou nous serons en retard".
Par ailleurs, les auteurs nous donnent souvent les différences pour des notions voisines qui existent entre mathématique et informatique.
Pour conclure, il est beau de découvrir le filtrage et les types récursifs.

Note du 31.01.2017 : Il semblerait que le langage Caml soit particulièrement apprécié en France. A l'échelle internationnalle, Haskell semble privilégié.

Geometrical Foundations of Robotics
(Editor : J.M. Selig)
Date de Lecture : 2017-01-31
Mon commentaire : Ce livre est une trace écrite d'un cours donné sur une journée (journée qui prédédait une conférence internationale IEEE de 1998 sur la robotique à Louvain en Belgique). L'approche y est clairement mathématique, il est composé de 8 chapitres qui correspondent aux 8 "lectures" données lors de ce cours. Dans les 3 premièrs chapitres, on trouvera une introduction et une application directe en robotique des notions suivantes : groupes et sous-groupes de Lie, algèbres de Lie, Théorie de la représentation.

Le chapitre 4 applique ces théories pour la conception de nouveaux mécanismes. Les chapitres 5 et 6 eux sont orientés études des singulatités de manipulateurs.

Le chapitre 7 et 8 sont aussi très intéressants. Dans le chapitre 7, on découvre comment la théorie des varitions peut être utile à la commande de robots séries. Finalement, dans le chapitre 8, on y trouve du calcul formel (differentiel) avec des applications en robotique et en théorie du contrôle.

Note pour Nico : Lire le chapitre 8 pourra me donner un autre point de vue sur la "Computational Differential Algebra".

Numerical Methods for Ordinary Differential Equations
(J. C. Butcher)
Date de Lecture : 2017-09-20
Mon commentaire : L'auteur donne à la fois les méthodes numériques, leur essence, traite des exemples pour illustrer et donne les preuves des assertions annoncées. De mon point de vue : un bon libre d'analyse numérique.

Le chapitre 1 rappelle les bases sur les équations différentielles ordinaires (Cauchy Lipschitz, invariants). Ce premier chapitre contient aussi deux beaux exemples qui illustrent très bien une des caractéristiques attendues par des méthodes numériques : une certain compatibilité entre le schéma et des propriétés de l'équation initiale. Par exemple, si on sait qu'une équation différentielle est dissipative, on aime bien que les solutions approchées obtenues par la méthode numérique vérifient aussi cette propriété.
J'ai aussi bien aimé le chapitre 2 qui contient un exemple très simple, p.56, qui illustre très bien le cas des problèmes raides (stiff en anglais). On y décrouvre en particulier un graphe appelé la région de stabililité. Ce graphe permet d'illustrer la convergence d'une méthode en fonction du pas et different d'une méthode à l'autre (Euler implicite, Euler explicite, Runge-Kutta, Adams et Taylor)


Note pour Nico : Il me reste à lire chapitre 3,4 et 5. Le chapitre 3 parle principalement des propriétés des méthodes de Runge-Kutta.

Analyse numérique - Une approche mathématique
(Michelle Schatzman)
Date de Lecture : 2018-03-14
Mon commentaire : L'auteure de ce livre présente les résultats classiques d'analyse numérique que l'on retrouve en Licence 3 de mathématiques : interpolation, différences divisées, série de Fourier, méthodes directes et itératives de résolution de systèmes linéaires...

Les introductions des chapitres et des sections sont ultra pertinentes. Mon préféré reste l'introduction de la partie 3 où elle explique la bataille débile entre mathématiciens purs et mathématiciens appliqués pour finalement finir par : "qu'importe que le chat soit noir ou gris, ce qu'il faut c'est qu'il attrape les souris." On y retrouve aussi des remarques plus personnelles du parcours universitaire de l'auteur.

Au début du livre, elle ne néglige pas une présentation des nombres flottants.
D'un point de vue personel et scientifique, j'ai enfin compris pourquoi il était intéressant de mettre des poids autre que 1 dans les formules de quadratures. Pour l'interpolation, la différence entre la méthodes s'appuyant sur les polynomes de Lagrange et celle s'appuyant sur les différences divisées est aussi très claire d'un point de vue temps de calculs. La page 193 donne aussi le strict nécessaire pour comprendre la transformée de Fourier rapide (i.e. la FFT).

Note pour Nico : Il me reste les parties 3 et 4 à lire (le 14 mars 2018).